দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 181 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 90 হলে সংখ্যা দুইটি কত?

ধরি, সংখ্যা দুইটি \(a\) এবং \(b\)।

প্রশ্নানুযায়ী, সংখ্যা দুইটির বর্গের সমষ্টি:

\(a^2 + b^2 = 181\) ....... (i)

এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল:

\(ab = 90\) ....... (ii)

আমরা জানি, \((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে মান বসিয়ে পাই:

\((a+b)^2 = 181 + 2(90)\)

\((a+b)^2 = 181 + 180\)

\((a+b)^2 = 361\)

\(a+b = \sqrt{361}\)

\(a+b = 19\) ....... (iii)

আবার, আমরা জানি, \((a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে মান বসিয়ে পাই:

\((a-b)^2 = 181 - 2(90)\)

\((a-b)^2 = 181 - 180\)

\((a-b)^2 = 1\)

\(a-b = \sqrt{1}\)

\(a-b = 1\) ....... (iv)

এখন, (iii) ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

\((a+b) + (a-b) = 19 + 1\)

\(2a = 20\)

\(a = \frac{20}{2}\)

\(a = 10\)

\(a\) এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(10 + b = 19\)

\(b = 19 - 10\)

\(b = 9\)

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো 10 এবং 9।

বিকল্প পদ্ধতি (Option Testing):

আমরা অপশনগুলো যাচাই করে দেখতে পারি:

    
• অপশন 1. 5, 18: বর্গের সমষ্টি = \(5^2 + 18^2 = 25 + 324 = 349\).
    
• অপশন 2. 10, 9: বর্গের সমষ্টি = \(10^2 + 9^2 = 100 + 81 = 181\). গুণফল = \(10 \times 9 = 90\). (এই সংখ্যা দুইটি প্রদত্ত উভয় শর্ত পূরণ করে)
    
• অপশন 3. 2, 45: বর্গের সমষ্টি = \(2^2 + 45^2 = 4 + 2025 = 2029\).
    
• অপশন 4. 6, 15: বর্গের সমষ্টি = \(6^2 + 15^2 = 36 + 225 = 261\).